Два типа физических величин: скалярные величины и векторные величины

Можно задаться вопросом, как можно провести различие между вектор количество от скалярная величина ? Или как узнать, что это вектор, а не скаляр?

Содержание

«Я не помню такой темы по физике» — это, наверное, первое, что пришло вам в голову. Да, вы правы — тема непримечательная, но она есть в некоторых учебниках. «Нужно ли мне это для S.A.T.?» Да. Да, это так. Правда. Постоянно.

Давайте начнем. Мы должны помнить, что в физике (школьной физике) есть два типа физических величин:

скалярная величина;
векторная величина.

Векторное количество. Что это такое? Давайте вспомним (а для тех, кто не знал — выучим), что

Вектор — это направленный отрезок прямой. .

Стрела — в простейшем понимании. Стрелка (вектор) имеет длину (длина стрелки) и направление. Вектор — это что-то который имеет длина и направление .

Примеры векторных величин: сила F F ⃗ , скорость V ⃗ ̇ ̇ ̇ V ⃗ .

Направление вектора показана на рисунке. Куда указывает вектор — туда он и указывает. Например, бывают случаи, когда вектор направлен вверх, вниз и т.д. Вектор может быть направлен вдоль плоскости. Примеры вы можете увидеть на фотографиях.

Вы можете задаться вопросом, как можно отличить вектор от вектора. вектор значение от скалярное значение ? Или, как узнать, что это вектор, а не скаляр?

Ну, самое простое — это опыт. Решая задачи и читая теоретический материал, вы со временем запомните, какие величины являются векторными, а какие — скалярными. Физических величин не так много, как вам кажется.

А способ усложнить задачу — представить себе эти количества и решить для себя: могут ли они иметь какое-либо направление? Если да, то это вектор, если нет, то скаляр.

Например: заряд конденсатора. Если заряд имеет направление, то куда он направляется? Неясно — поэтому, вероятно, заряд является скалярной величиной.

Другой пример: длина отрезка прямой. Если эта физическая величина имеет направление, то куда она движется: из точки 1 в точку 2? Или из точки 2 в точку 1? Трудно выбрать — поэтому, вероятно, длина отрезка является скаляром.

Какие из величин, показанных на рисунках, являются скалярными величинами, а какие — векторными?

Что — почему ты не сказал этого раньше? Ах… Ну…

О направлении

Направление — является одной из важнейших характеристик движения.

Подумайте, какие из этих величин являются просто числами, а какие также являются числами, но имеют направление.

Вы, наверное, легко заметили, что сила, скорость и перемещение имеют направление, а время, длина, масса и температура — это просто числа.

Итак, «просто числа» — это скалярные величины (также называемые скаляры).

А «направленные числа» — это векторные величины (иногда называемые векторы).

В физике существует множество скаляры и векторные величины.

Но оказывается, что гораздо большего можно достичь, непосредственно «сведя» все векторные величины в физике к элементарным «геометрическим» векторам, а точнее к одному вектору — вектору единичного смещения, или, правильнее, выведя все эти величины из него.

Происхождение векторных величин

Как физические «векторные величины» связаны с пространством? Прежде всего, бросается в глаза, что размерность векторных величин (в обычном смысле этого термина, объясненном выше) совпадает с размерностью тех же «физических» (и «геометрического») пространства-времени, например, пространство трехмерно и вектор электрического поля трехмерен. Интуитивно мы также видим, что каждая векторная физическая величина, как бы смутно она ни была связана с обычным пространством, тем не менее, имеет вполне определенное направление именно в этом обычном пространстве.

Оказывается, однако, что гораздо большего можно достичь, непосредственно «сведя» весь набор векторных величин в физике к простейшим «геометрическим» векторам, фактически к одному вектору — вектору элементарного движения, или, правильнее, выведя их все из него.

Эта процедура имеет две различные (хотя фактически повторяющиеся в деталях) реализации для трехмерного случая классической физики и для четырехмерного пространства-времени, характерного для современной физики.

Классический трехмерный случай

Начнем с обычного трехмерного «геометрического» пространства, в котором мы живем и можем двигаться.

Возьмем вектор бесконечно малого смещения в качестве начального и образцового вектора. Достаточно очевидно, что это обычный «геометрический» вектор (как вектор конечного перемещения).

Теперь сразу отметим, что умножение вектора на скаляр всегда дает новый вектор. То же самое можно сказать о сумме и разности векторов. В этой главе мы не будем различать полярные и аксиальные векторы [7] , поэтому отметим, что также векторное произведение двух векторов дает новый вектор.

Также новый вектор дает дифференцирование вектора по скаляру (поскольку такая производная является пределом отношения разности векторов к скаляру). То же самое можно сказать и о производных всех высших порядков. То же самое справедливо для интегрирования по скалярам (время, объем).

Теперь заметим, что начиная с радиус-вектора r или от элементарного смещения drмы легко поймем, что векторы — это (поскольку время — скаляр) кинематические величины, такие как

`mathbf v = dmathbf r/ dt, `vec a` = d- vec v/ dt.

Из скорости и ускорения, умноженных на скаляр (массу), следует

Поскольку нас теперь интересуют также псевдовекторы, заметим, что

Они появляются совершенно понятным образом. [8]

Используя формулу силы Лоренца, напряженность электрического поля и вектор магнитной индукции связаны с векторами силы и скорости.

Продолжая эту процедуру, мы обнаруживаем, что все известные нам векторные величины не только интуитивно, но и формально относятся к исходному пространству. А именно, все они в некотором смысле являются его элементами, поскольку выражаются по существу как линейные комбинации других векторов (возможно, со скалярными множителями, но скалярные, а значит, формально вполне законные).

Современный четырехмерный случай

Такую же процедуру можно проделать с четырехмерным смещением. Получается, что все четырехмерные величины «вытекают» из четырехмерного смещения, являясь в некотором смысле такими же векторами пространства-времени, как и само четырехмерное смещение.

На рисунках вектор представлен отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Она обозначается с двумя заглавными латинскими буквами письма со стрелкой над ними.например, вектор показаний AB. В данном случае первая буква обозначает начало вектор, второй указывает конец.

Понятие вектора

Векторные величины (векторы) являются физическими величинами, которые характеризуются не только их числовой значение, но также направление в пространстве. Например, сила, смещение материальной точки, скорость.

Концы любого отрезка называются его граничные точки.. На отрезке можно задать два направления: от одной граничной точки к другой и наоборот.

Будем называть одну граничную точку отрезка в качестве начальной точки отрезкадругой будет называться конец сегментанеобходимо выбрать одно из направлений. Мы будем считать, что отрезок направлен от начала до конца.

Определение

Отрезок, для которого мы определяем, какая из его краевых точек считается началом, а какая — концом, называется направленный сегмент или вектор

На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Он обозначается с двумя заглавными латинскими буквами письма со стрелкой над ними.например. векторное чтение AB. В данном случае первая буква обозначает начало вектор, второй указывает конец.

Векторы также часто обозначаются как с одной строчной латинской буквой написание со стрелкой над ним.: , , .

Кроме того, каждый точка на плоскости — это вектор. В этом случае вектор имеет вид ноль или нулевой вектор. И его начало совпадает с его концом.

Представим векторы , , и :

Баллы А, С, Е, М — являются началами этих векторов, и B, D, F, М — являются их концами. То есть, если точка, представляющая нулевой вектор, обозначается через Мтогда нулевой вектор обозначается . Его также можно обозначить через . Мы представляли ненулевой векторы , , и ноль вектор .

Длина или модуль ненулевого вектора длина отрезка прямой AB. Длина вектора (вектор ) и обозначается как: (). Длина нулевого вектора принимается равной нулю: .

Длины векторов, показанных выше, следующие: =7, =5, =2, =0, =, =4,5, =3.

В физике и математике примерами векторных величин являются:

Определение положительного скаляра и его меры

Понятие положительной скалярной величины и ее меры позволяет сравнивать однородные скаляры между собой. Положительная скалярная величина, которая может принимать значения строго выше 0. Обозначается знаком «+». Если величина может принимать значения меньше 0, она называется отрицательной и обозначается знаком «-«. Большинство скаляров могут быть только положительными. Для их расчета используются единицы измерения — фиксированные размеры объектов.

Чтобы получить скалярную величину, просто умножьте ее числовое значение на единицу измерения. Международная система единиц (СИ) была разработана для организации и стандартизации расчетов физических параметров тела. Он определяет единицу измерения для каждого количества. При вычислении скалярных величин используются алгебраические операции — сложение, вычитание, деление и умножение (отдельный подтип — экспоненция).

Список примеров векторных величин

В последнем равенстве мы имеем дело с умножением вектора на скаляр. Давайте объясним эту процедуру.

Векторные величины.

§1 Определение вектора. Операции над векторами.

1. основные определения

Удивительно, но с векторными величинами различной природы (перемещение, скорость, сила, импульс и т.д.) можно работать так же, как и с геометрическими объектами. геометрические векторыили просто векторы, хотя здесь есть некоторые нюансы (см. ниже).

Вектор — это направленный отрезок прямой, для которого определены правила (законы) сложения с другими векторами, правила вычитания векторов, правила умножения вектора на число, скалярное произведение двух векторов и некоторые другие операции.

Стрелка компаса — это не вектор, поскольку он не имеет таких операций.

Мы будем рассматривать векторы на плоскости и, по традиции, обозначать их латинскими буквами со стрелками вверху, например: `vec v’, `vec F’, `vec a’, `vec b’ и т.д. Часто для экономии используется упрощенное обозначение — буква с дефисом, например, `bar v’ или `bar F’.

Одна из граничных точек вектора называется его началом, другая — концом. Направление вектора задается от начала к концу, при этом на рисунке стрелкой обозначен конец вектора. Начало вектора также называется место его применения. Если точка `A` является началом вектора `vec a`, то мы будем говорить, что вектор `vec a` приложен в точке `A` (рисунок 2).

Число, выражающее длину направленного отрезка, называется модуль вектора и обозначается той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки вверху, например: модулем вектора `vec v` является число `v`. Часто абсолютный знак используется для обозначения модуля вектора и записывается, например, `|vec v|` или `|vec F|`.

Вектор называется нольесли его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления, а его длина (модуль) равна нулю.

Векторы называются коллинеарныйесли они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Так, например, на рисунке 3 векторы `vec a’, `vec b’ и `vec c’ коллинеарны.

Два вектора называются равныйесли они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

На рис. Слева показаны 4 неравных вектора `vec a` и `vec f`, `vec g` и `vec h`, а справа — равные векторы `vec p` и `vec q`. Точка приложения геометрического вектора `vec a` может быть выбрана произвольно. Мы не делаем различия между двумя одинаковыми векторами, имеющими разные точки приложения и полученными один из другого путем параллельного переноса. Соответственно, векторы, изучаемые в геометрии, называются свободными векторами (они определены с точностью до точки касания).

В физике точка приложения вектора иногда имеет фундаментальное значение. Вспомните рычаг: две равные силы, действующие по модулю в одном направлении, оказывают разное действие на рычаг, если плечи сил не равны. И все же сами силы равны! Бывают также случаи, когда трудно выделить конкретную точку приложения вектора. Например, если одна система отсчета движется относительно другой со скоростью `vec v’, какой точке должна быть присвоена эта скорость? Во все точки системы перемещения!

2 — Сложение двух векторов.

Пусть даны любые два вектора `vec a` и `vec b` (рис. 5a).

Чтобы найти их сумму, переместите вектор `vec b` параллельно друг другу так, чтобы его начало совпало с концом вектора `vec a`. Тогда вектор от начала вектора `vec a` до конца вектора `vec b` будет суммой `vec a` и `vec b`. На рисунке 5b это вектор `vec c`.

Описанный принцип просто определение суммы векторов. Как и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, поэтому мы можем написать

Приведенное выше правило для геометрического сложения векторов называется принцип треугольника .

Сумма векторов также может быть найдена по формуле правило параллелограмма. В этом случае, путем параллельного переноса, объедините векторные начала `vec a` и `vec b` и постройте на них параллелограмм, как на сторонах. Тогда сумма векторов `vec a` и `vec b` будет диагональю этого параллелограмма, а конкретно сумма векторов `vec a` и `vec b` будет вектором, начало которого совпадает с общим началом векторов `vec a` и `vec b`, оканчивающихся в противоположной вершине параллелограмма, и длина которого равна длине указанной диагонали (рисунок 5c).

Оба метода сложения дают одинаковые результаты и одинаково часто используются на практике. Когда нужно найти сумму трех или более векторов, часто последовательно используется правило треугольника. Поясним вышесказанное.

3 Добавление трех или более векторов.

Предположим, нам нужно сложить три вектора `vec a`, `vec b` и `vec d` (рис. 6).

Для этого, согласно правилу треугольника, сначала находится сумма любых двух векторов, таких как `vec a` и `vec b`, а затем полученный вектор `vec c = vec a + vec b` добавляется к третьему вектору `vec d` по тому же правилу. Тогда результирующий вектор `vec f = vec c + vec d` и будет суммой трех векторов `vec a`, `vec b` и `vec d`: `vec f = vec a + vec b + vec d`. Как и в случае с двумя векторами, порядок сумм не влияет на конечный результат.

Для упрощения сложения трех и более векторов промежуточные суммы, такие как `vec c = vec a + vec b`, обычно не используются, а используются промежуточные суммы типа правило многоугольника: Путем параллельных переносов, с конца первого вектора откладывается второй вектор, с конца второго вектора откладывается третий вектор, с конца третьего вектора — четвертый вектор и так далее.

Так, на рис. 7 Вектор `vec g` является суммой векторов `vec a`, `vec b`, `vec d`, `vec e`, найденных по правилу многоугольника: `vec g = vec a + vec b + vec d + vec e`.

Не каждая векторная сумма может иметь физический смысл. Не все количества имеют смысл. Так, например, бессмысленно говорить, что если моя температура `36,6^@` и ваша тоже `36,6^@`, то вместе мы имеем температуру `73,2^@`, хотя никто не запрещает складывать температуры (числа). Но чаще всего сумма температур — это величина, которая никому не нужна, она редко входит в уравнения (входит почти случайно).

Масса — это другой вопрос. Если система состоит из тел с массами `m_1`, `m_2`, `m_3` и т.д., то масса всей системы равна `m = m_1 + m_2 + m_3 + ` и т.д. (Если на лифте написано, что максимальная нагрузка на лифт составляет `500` кг, то перед входом в лифт убедитесь, что сумма масс груз, перевозимый в лифте, не превышает `500` кг.) Вес, как говорят, является дополнительная стоимость (от английского слова добавить — добавить, добавить, добавить). С другой стороны, температура не является аддитивной величиной.

Сила — это аддитивная векторная величина. Если к телу в точке (или к системе тел в разных точках!) приложены силы `vec(F_1)`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)` и т.д., то сумма векторов сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + … ` — это значительная и даже очень необходимая величина. Например, в условиях равновесия тела сумма всех приложенных к нему сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + … = 0′, даже если силы приложены в разных точках тела. Это относится не только к твердым веществам. Если струна подвешена за два конца к двум гвоздям, а в промежутке ее перекидывают через большее количество гвоздей, то сначала нужно найти силы, действующие со стороны каждого гвоздя, и силу, действующую со стороны Земли (силу гравитации) `vec F_1`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)`, `…`; в этом случае говорят, что сумма сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + …. `; в условиях равновесия эта сумма будет равна нулю.

Со скоростями дело обстоит иначе. Если система состоит из двух частиц, имеющих в некоторый момент времени скорости `vec(v_1)` и `vec(v_2)`, то не означает, что в этот момент вся система имеет скорость, равную векторной сумме `vec(v_1) + vec(v_2)`. Никто не запрещает суммировать векторы скорости различных частиц; но с точки зрения физики вектору `vec(v_1) + vec(v_2)` ничего нельзя приписать. В этом смысле скорость не является аддитивной величиной. Сумма скоростей (векторная сумма) представляет интерес, когда одно движение накладывается на другое (например. Земля вращается вокруг Солнца, но вместе с Солнцем она движется вокруг центра Галактики). Но сумма скоростей отдельных частиц в системе (например, сумма скоростей звезд в Галактике) не имеет физического смысла.

Относительная скорость — это величина, с которой вы не раз столкнетесь в курсе физики, угловой момент материальной точкиравна произведению массы и скорости, `vec p = m vec v` — снова аддитивная величина.

В последнем равенстве мы имеем дело с умножением вектора на скаляр. Давайте объясним эту процедуру.

4 Умножение вектора на скаляр.

Произведением вектора `vec a` на число `k` является новый вектор `vec b = k vec a`, коллинеарный вектору `vec a`, направленный в ту же сторону, что и вектор `vec a`, если `k > 0`, и в противоположную сторону, если `k < 0` и модуль `b` является

где `|k|` — абсолютное значение числа `k`.

Если два вектора коллинеарны, то они отличаются только скалярным коэффициентом. И наоборот, если два вектора отличаются только скалярным коэффициентом, не равным нулю, то они коллинеарны.

В случае, когда `k = 0` или `vec a = 0`, произведение `k vec a` является нулевым вектором, направление которого не определено.

Если `k = 1`, то согласно (2) `vec b = vec a` и векторы `vec a` и `vec b` равны (рис. 8a).

При `k = — 1` получаем `vec b = — vec a`. Вектор `- vec a’ имеет модуль, равный модулю вектора `vec a’, но направленный в противоположную сторону (рис. 8b).

Два противоположно направленных вектора, имеющих одинаковую длину, называются напротив.

Угловой момент тела `vec p = m vec v` коллинеарен вектору скорости и направлен с ним в одну сторону, так как массы всех тел положительны. Аддитивность углового момента была упомянута немного ранее. Если система состоит из материальных точек с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `. `, которые в некоторый момент времени имели скорости `vec(v_1)`, `vec(v_2)`, `vec(v_3)`, `…`, т.е. имели импульс `vec(p_1) = m_1 vec(v_1)`, `vec(p_2) = m_2 vec(v_2)`, `vec(p_3) = m_3 vec(v_3)`, `…`, то вся система в этот момент имеет импульс

`vec p = vec(p_1) + vec(p_2) + vec(p_3) + . = m_1 vec(v_1) + m_2 vec(v_2) + m_3 vec(v_3) + … `.

Каждая сумма должна быть найдена здесь по правилу умножения вектора (скорости частицы) на скаляр (ее массу), а затем все эти векторы должны быть сложены, например, по правилу многоугольника.

Вычесть из вектора `vec a` вектор `vec b` означает прибавить к вектору `vec a` вектор `- vec b`:

Читайте далее: