Поток и циркуляция векторных полей; Школа для инженеров-электриков: Электротехника и электроника

Хорошо известно, что поля могут быть представлены для наглядности в виде так называемых линий поля, в каждой точке которых направление касательной совпадает с направлением напряженности поля.

Поток и циркуляция векторного поля

Описывая законы электричества в терминах векторного поля, перед нами открываются две математически важные характеристики векторного поля: поток и циркуляция. Хорошо бы понять, что это за математические понятия и каково их практическое значение.

На вторую часть вопроса легко ответить сразу, поскольку понятия потока и циркуляции лежат в основе уравнений Максвелла, на которых, собственно, и основана вся современная электродинамика.

Так, например, закон электромагнитной индукции можно сформулировать следующим образом: циркуляция напряженности электрического поля E по замкнутому контуру C равна скорости изменения потока магнитного поля B на поверхности S, ограниченной этим контуром C.

В остальной части этой статьи мы довольно просто, на наглядных примерах жидкости, опишем, как математически определяются эти характеристики поля, из чего они выводятся и выводятся.

Лекции Ричарда Фейнмана по физике

Поток векторного поля

Для начала представим, что вокруг исследуемой области пространства существует некоторая замкнутая поверхность произвольной формы. Сделав этот рисунок, спросим себя, протекает ли объект, который мы называем полем, через эту замкнутую поверхность. Чтобы понять, о чем идет речь, давайте рассмотрим простой пример с жидкостью.

Предположим, что мы изучаем поле скоростей некоторой жидкости. Для такого примера имеет смысл спросить: вытекает ли в единицу времени через эту поверхность больше жидкости, чем втекает в объем, ограниченный этой поверхностью? Другими словами, всегда ли скорость оттока направлена преимущественно изнутри наружу?

Поток векторного поля

Договоримся использовать выражение “поток векторного поля” (а для нашего примера точнее было бы использовать выражение “скоростной поток жидкости”) для обозначения общего количества воображаемой жидкости, которая точно вытекает через поверхность из рассматриваемого объема, ограниченного данной замкнутой поверхностью (для скоростного потока жидкости – сколько жидкости вытекает из объема в единицу времени).

В результате поток через элемент поверхности будет равен произведению площади поверхности элемента поверхности и перпендикулярной составляющей скорости. Тогда общий (суммарный) поток через всю поверхность будет равен произведению средней нормальной составляющей скорости, которую мы будем считать от центра наружу, на общую площадь поверхности.

Теперь мы вернемся к электрическому полю. Электрическое поле, конечно, нельзя рассматривать как скорость некоторой жидкости, но мы вправе ввести математическое понятие потока, аналогичное тому, что мы описали выше как поток скорости жидкости.

Только в случае электрического поля его поток можно определить по средней нормальной составляющей напряженности электрического поля E. Кроме того, поток электрического поля может быть определен не обязательно замкнутой поверхностью, а любой ограниченной поверхностью с полем S, не равным нулю.

Циркуляция векторного поля

Хорошо известно, что поля можно, для наглядности, представить в виде так называемых линии поля, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением напряженности поля.

Давайте снова вернемся к аналогии с жидкостью и представим себе поле скоростей жидкости. Давайте спросим себя: циркулирует ли жидкость? То есть, движется ли она в основном в направлении какого-то воображаемого замкнутого контура?

Циркуляция векторного поля

Для иллюстрации представим, что жидкость в некотором большом сосуде каким-то образом движется (рис. а), и мы быстро заморозили почти весь ее объем, но успели оставить незамороженный объем в виде гладкой закрытой трубки, в которой нет трения жидкости о стенки (рис. б).

За пределами трубки жидкость превратилась в лед и поэтому больше не может двигаться, но внутри трубки жидкость может продолжать двигаться, при условии, что существует доминирующий угловой момент, который движет ее, например, по часовой стрелке (рисунок c). Тогда произведение скорости жидкости в трубе на длину трубы называется циркуляцией скорости жидкости.

Циркуляция векторного поля

Аналогично, мы можем определить циркуляцию для векторного поля, хотя, опять же, мы не можем сказать, что поле является скоростью чего-то, тем не менее, математическое свойство “циркуляции” по контуру – может быть определено.

Таким образом, циркуляцию векторного поля по воображаемому замкнутому контуру можно определить как произведение средней касательной составляющей вектора в направлении контура на длину контура.

Если вам понравилась эта статья, пожалуйста, поделитесь ссылкой на нее в социальных сетях. Это очень поможет в развитии нашего сайта!

Пусть – – радиус-вектор точки на контуре . Мы знаем, что вектор направлен вдоль касательной к кривой в направлении ее траверса (см. рис. 276) и , где – дифференциал дуги кривой.

Циркуляция векторного поля

Циркуляция векторного поля

Циркуляция векторного поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Проведите небольшую закрытую кривую в этой области и выберите на ней определенное направление.

Пусть Циркуляция векторного поля– радиус-вектор точки Циркуляция векторного поляпо контуру Циркуляция векторного поля. Известно, что вектор Циркуляция векторного полянаправлена по касательной к кривой в направлении ее пересечения (см. рис. 276) и Циркуляция векторного поляЦиркуляция векторного полягде Циркуляция векторного поля– это разность дуги кривой Циркуляция векторного поля.

Криволинейный интеграл замкнутого контура Циркуляция векторного поляот скалярного произведения вектора Циркуляция векторного поляна векторе Циркуляция векторного полякасательная к контуру Циркуляция векторного поля,
называется циркуляцией вектора a вдоль Циркуляция векторного поля, т.е.

Циркуляция векторного поля

Рассмотрим различные формы обозначения циркуляции. С сайта

Циркуляция векторного поля

где Циркуляция векторного поля– является проекцией вектора Циркуляция векторного поляпо касательной Циркуляция векторного поля, проведенная в направлении кривой Циркуляция векторного полятогда уравнение (71.10) можно записать в виде

Циркуляция векторного поля

Циркуляция векторного поля

Циркуляция Циркуляция векторного полянаписанная в форме (71.12), имеет простой физический смысл: если кривая Циркуляция векторного полянаходится в силовом поле, циркуляция – это работа Циркуляция векторного поляполя при движении материальной точки вдоль Циркуляция векторного поля(п. 56.5).

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция ненулевая, так как в каждой точке векторной линии скалярное произведение Циркуляция векторного полясохраняет свой знак: положительный, если направление вектора Циркуляция векторного полясовпадает с направлением векторной линии; в противном случае оно отрицательно.

Пример #71.5.

Найти циркуляцию вектора нулевой линейной скорости вращающегося тела (см. пример 69.2) Циркуляция векторного полявдоль замкнутой кривой Циркуляция векторного поля, лежащая в плоскости o, перпендикулярной оси вращения.

Решение:

Предположим, что направление нормали к плоскости Циркуляция векторного полясовпадает с направлением оси Циркуляция векторного поля. Согласно формуле (71.12), имеем

Циркуляция векторного поля

где Циркуляция векторного поля– это площадь, ограниченная кривой Циркуляция векторного поля(см. 56.17).

Обратите внимание, что если нормаль к поверхности Циркуляция векторного поляобразует угол Циркуляция векторного поляс осью Oz, циркуляция будет Циркуляция векторного поля; при изменении угла Циркуляция векторного полязначение Циркуляция векторного поляизменение.

Циркуляция векторного поля

Пример № 71.6.

Вычислите циркуляцию векторного поля

Циркуляция векторного поля

Циркуляция векторного поля

по периметру треугольника с вершинами (см. рис. 277).

Решение:

Согласно уравнению (71.12) имеем:

Циркуляция векторного поля

Циркуляция векторного поля

В интервале , следовательно,

Циркуляция векторного поля

Циркуляция векторного поля

В интервале , следовательно,

Циркуляция векторного поля

Циркуляция векторного поля

В интервале , следовательно,

Циркуляция векторного поля

Циркуляция векторного поля

На этой странице вы найдете полный курс лекций с примерами решений по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике, которые могут быть вам полезны:

Помощь студентам lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal

Образовательный сайт для школьников и студентов

Копирование материалов данного сайта возможно только при наличии активной ссылки “www.lfirmal.com”.

© Людмила Анатольевна Твердая – официальный сайт преподавателя кафедры математики Дальневосточного государственного физико-технического института

Поскольку путь лежит в плоскости, то координата “иг” будет равна нулю, что позволяет свести решение к некоторому интегралу с “х” или “zet”. Давайте напишем канонические уравнения линии на точке и ведущем векторе :
– Не забудьте мысленно проверить, что координаты точек удовлетворяют полученным уравнениям.

Циркуляция векторного поля. Формула Стокса

Заключительный урок по по основам векторного анализа мы сосредоточимся на другом свойстве векторного поля, которое называется циркуляция. С чем мы ассоциируем этот термин на разговорном уровне? Циркуляция воздуха, циркуляция жидкостей в какой-либо системе; а латинский корень слова (circulare) говорит нам, что этот процесс является круговым.

Именно так, концепция циркуляции появилась в в теории поля из задачи по гидродинамике, в которой нам нужно было оценить движение жидкости в замкнутом контуре. Построим простую модель: пусть в некоторой закрытой трубе циркулирует жидкость, движение которой описывается следующим образом полем скоростей . Рассмотрим любой замкнутый строка . Для простоты мы будем считать, что каждой точке на линии соответствует проецируемый из нее вектор поля, который показывает направление и скорость жидкости в этой точке.

Циркуляция () векторного поля вдоль контура является скалярная величиначисленно равна к криволинейному интегралу второго рода на этом контуре:

Согласно общий принцип интеграцииэтот интеграл интегрирует прогнозы векторы, “проецирующие” контур на координатные оси для всех бесконечно малая части контура, что является оценкой движения жидкости. А из интеграла прямо следует, что циркуляция зависит от двух вещей:

– длина самого контура (чем он длиннее, тем больше циркуляция);

– скорость потока * (чем длиннее векторы “ef”, тем больше их бесконечно малая проекции и тем большее значение ).

* Со временем понятие циркуляции было распространено на любое векторное поле, в котором нечему циркулировать в прямом смысле слова

В этом случае контур, конечно, можно обойти двумя способами: в одном направлении или в противоположном. В обоих случаях мы получаем одно и то же абсолютная величина обращение с различными знаками (при условии, конечно). На практике чаще всего движение происходит против часовой стрелки – когда для человека, “обходящего контур” площадь, ограниченная контуром остается слева. Это направление обхода называется положительный.

Обратите внимание, что замкнутый контур не обязателен – циркуляция может быть рассчитана любым односторонняя гладкость линия, обеспечивающая бесшовную интеграцию. Однако, с исторической и методологической точки зрения, в практических задачах контур обычно является замкнутым.

И если подробно описать криволинейный интеграл циркуляции для векторного поля, то его физический смысл “раскрывается”:

А именно, тираж равен произведение векторного поля на замкнутом контуре, как я уже упоминал в первом уроке по теория поля.. Этот смысл более характерен для силовых полей, но в гидродинамической модели результат можно также интерпретировать как работу поля скорости на движение материальной точки.

Итак, сегодня мы имеем две проблемы “в одном пакете”! Кроме того, мы почти никогда не решаем криволинейные интегралы по пространственным контурам, так что сейчас самое время наверстать упущенное:

Вычислите циркуляцию векторного поля вдоль треугольника в положительном направлении.

Контур - это пространственный треугольник

РешениеНарисуем треугольник и обозначим порядок его окружностей стрелками:

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна к криволинейному интегралу второго рода на этом контуре, и в силу свойства аддитивность:

Как говорится, разделяй и властвуй:

1) Вычислим циркуляцию на отрезке :

Через точки и найдите направленный вектор линии:
и поскольку его “дзета”-координата равна нулю, то канонические уравнения линии принимают следующую форму: . Проверяем, что координаты точек “a” и “b” удовлетворяют уравнениям. С тех пор у нас есть возможность уменьшить криволинейный интеграл к неопределенный интеграл с интегрированием по “x” или “y”. Из левого соотношения следует, что:
и найти дифференциал: – таким образом, решение сводится к переменной “x”, которая в соответствии с направлением интеграции изменения (посмотрите на фигуру!) с 3 до 1:

В качестве альтернативы, основываясь на уравнениях прямой, мы можем выразить , найти и проинтегрировать по “μ” от 0 до 2. Не упустим прекрасную возможность проверить:

2) Вычислим циркуляцию векторного поля вдоль отрезка :

Вектор направления соответствующей прямой находим по :
– и поскольку все его координаты ненулевые, мы не сможем “обнулить” ни одну переменную в криволинейном интеграле. Что делать? Запишите параметрические уравнения прямой линии – в точке (удобнее взять начало координат) и ведущий вектор :

Легко видеть, что начало отрезка соответствует , а конец – . Остается найти дифференциалы параметрических уравнений:

и ДЕЙСТВИТЕЛЬНО заменить весь склон:

3) Наконец, вычислим циркуляцию поля вдоль сегмента :

Поскольку путь лежит в плоскости, то координата “иг” будет равна нулю, что позволяет свести решение к некоторому интегралу по “х” или “zet”. Давайте напишем канонические уравнения линии на точке и ведущем векторе :
– Не забудьте мысленно проверить, что координаты точек удовлетворяют полученным уравнениям.

Проще выразить, найти и интегрировать по “zet” из соотношения (внимание!) z от 2 до 0 – строго вдоль окружного направления:

Не позволяйте своей душе лениться – теперь выражайте, находите и интегрируйте по “x” от 0 до 3:

и это то, что мы должны были проверить.

Кстати, и в первом, и в этом пункте можно использовать параметрические уравнения – в зависимости от того, что удобнее.

Таким образом, векторное поле циркулирует по замкнутому контуру:

Ответить:

Скорее всего, вы не понимаете этот результат с гидродинамической точки зрения, и я объясню его значение чуть позже. Но сначала давайте ответим на старый сакраментальный вопрос: нельзя ли проще?

Формула Стокса

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна флюс своего его ротор на поверхности, вытянутые по этому контуру в направлении, соответствующем направлению окружности контура:

а именно, если смотреть на поверхность z от края нормальных векторов (вектор)то путь по контуру должен восприниматься нами как путь против часовой стрелки. Посмотрите на треугольник (рисунок выше) с сайта точка единичного нормального вектора . Прокладывается ли контур против часовой стрелки? Да*. Таким образом, это и есть искомый нормальный вектор, и поэтому мы должны вычислить поверхностный интеграл на верхней стороне треугольника.

* Посмотрите на ситуацию и с другой стороны треугольника

Согласно формуле Стокса:

где – единичный вектор нормали верхней стороны треугольника.

Примечание: на самом деле, в правой части мы пишем поверхностный интеграл II рода – уже сведенный к поверхностному интегралу I рода

Давайте найдем функция ротора поля . Чтобы избежать путаницы, запишем компоненты поля и возьмем частные производные в порядке “ротор”:

Таким образом:
поэтому наша область потенциально и:

Ну – если мы вспомним физический смысл циркуляции (работа векторного поля на контуре), и вспомним, что работают в замкнутом контуре в потенциальном поле равно нулю, то все правильно.

Поэтому циркуляция векторного поля равна нулю не только на треугольнике, но и вообще на любом замкнутом контуре пространства. Из этого следует и гидродинамический смысл задачи: представьте, что треугольник находится внутри закрытой трубы. Поскольку поле скорости потенциальното циркуляция будет равна нулю не только вдоль этого треугольника, но и вдоль любой внутренней замкнутой линии. Это говорит нам о том, что движение жидкости в трубе всенаправленное и компенсированное – сколько циркуляций в одном направлении, столько же циркуляций в другом направлении.

На самом деле, мы уже использовали формулу Стокса ранее: если контур полностью лежит в плоскости , то мы имеем ее частный случай, который называется Формула Грина:

где – замкнутая область, ограниченная контуром . И фактически мы теперь решили пространственный эквивалент из примера 12 Урок Криволинейные интегралы по замкнутому контуру.

Интересно отметить, что поле, рассматриваемое в задаче, является не только потенциальныйно также соленоидальный:

Такие поля (как потенциальные, так и соленоидальные) называются гармонический. И под этим термином я всегда представляю себе широкую полноводную реку с пологим течением, по которой величественно, без малейшего отклонения от прямого русла, течет всякую ерунду. Флотилия ладей. В этом действительно есть какая-то чарующая гармония. Впрочем, это всего лишь ассоциация – придумайте какой-нибудь “бурный” пример сами ;)

В курсе векторного анализа есть целая глава, посвященная гармоническим полям, но сейчас мы возвращаемся к практическим случаям, и я предлагаю подобную задачу решить самостоятельно:

Вычислите циркуляцию векторного поля вдоль треугольника в положительном направлении двумя способами: a) непосредственно, b) используя формулу Стокса.

Это наиболее распространенный случай, когда все отрезки лежат в координатных плоскостях, поэтому здесь мы можем оперировать только декартовыми координатами. Однако, параметрические уравнения тоже неплохой вариант, так как там всего одна буква =) – главное, правильно определить границы вариации параметра.

При использовании формулы Стокса не ошибитесь – она вычисляет поток не самого поля, а его ротор . И поэтому требуется уравнение плоскости..

Она может быть не очень интересной с точки зрения содержания, но очень полезной для отработки техники решения решение криволинейных интегралов.. В конце урока вы найдете пример решения и несколько рациональных вычислительных приемов, позволяющих минимизировать усилия и снизить риск ошибки.

Помимо контура-треугольника, единственным другим, возможно, более популярным решением является круг:

Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура непосредственно и с помощью формулы Стокса

РешениеПриведенные выше уравнения определяют окружность, лежащую в самолет радиусом 2 с центром на оси . Более того, условие ничего не говорит о порядке прохождения контура, и в принципе мы можем выбрать любой из них. Давайте сделаем это “традиционным” способом:
Контур - это круг

1) Вычислите произведение векторного поля напрямую. С “X”, “Y”, “Z” и их различиями здесь все прозрачно:

, и остается контролировать пределы варьирования параметров:
– если , то белая точка контура (см. рисунок);
– если , то – высшая точка контура.
Таким образом, если мы изменим параметр, круг будет “нарисован” в напротив направление в соответствии с нашим порядком прохождения, поэтому мы должны взять интеграл от z до 0:

Ответить:

Отрицательный знак информирует нас о том, что схема выполняется (полностью или в большей части) против выбранного нами порядка циркуляции, и если бы мы кружили в противоположном направлении, то получили бы

2) Рассчитаем циркуляцию по формуле Стокса:

Найдем функцию ротора:

Поскольку площадь, натянутая на контур, равна плоский рисунок (круг), а затем для всех своих точек единичный нормальный вектор может “поворачиваться” только в двух направлениях. Какой вектор выбрать: или ? Вспомните правило: от точка вектора контур должен быть виден против часовой стрелки. Этому условию удовлетворяет вектор . Не забудьте посмотреть на круг и с другой стороны – с этой точки контур обведен по часовой стрелке, поэтому вектор не годится.

Теперь рассчитайте формулу Стокса:

Здесь мы можем сослаться на то, что интеграл от равна поверхности -область и сразу дать ответ, но мы пойдем академическим путем.

Пока поверхность только “полностью” проецируется на плоскость, ничего не остается делать, кроме как применять частичная формула. . Я подчеркиваю, что это частный случай, и если бы в интеграле были какие-либо переменные, нам бы понадобилась полная версия

Но у нас все проще:

Опять же, можно сослаться на то, что результирующая двойной интеграл численно равна площади круга того же радиуса, но я закончу “экзотикой” с помощью экзотического перехода к полярным координатам на самолете. Порядок упущений здесь очевиден:

– Обратите внимание, что полярный угол изменяется в стандартном направлении, от полуоси к полуоси. Грубо говоря, роль “игрока” здесь играет переменная “zet”, следовательно, :

Ответ:

Если мы выберем другое направление для окружности, нам придется использовать противоположно направленный вектор, что, конечно, приведет к смене знака. Однако отрицательный знак ничем не хуже положительного и лишь указывает на то, что мы вычислили циркуляцию полностью или в основном “против течения”.

Некоторые проблемы нужно решать самостоятельно. Более простые:

Вычислите циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру напрямую и с помощью формулы Стокса. Выберите положительное направление циркуляции.

В примере я привел дотошное решение, но на практике можно использовать и геометрический смысл интегралов, обычно преподаватели снисходительны в этом отношении.

И проблема становится веселее:

Найти модуль циркуляции векторного поля по контуру

Контур здесь – это линия пересечения цилиндр и самолет, а именно, эллипс; и, кстати, на уроке по тройные интегралы в Пример 7 Я рассказал вам, как построить такую секцию. Интересно отметить, что здесь можно легко обойтись без рисунка, поскольку вам нужно только найти абсолютная величина обоих, то направление обхода не имеет значения – мы просто интегрируем по “этим” от 0 до . С параметрическими уравнениями “косого” эллипса, я думаю, проблем быть не должно. Но это обоюдоострый меч – вы можете обнаружить, что второй способ легче решить проблему.

Существуют и более сложные задачи, но для целей данного урока будет достаточно и этой, потому что проще – значит лучше. Кроме того, я не охватил всех вопросов, в частности, того, что сама концепция ротор определяется циркулем и поверхностью, натянутой на контур + еще один интересный момент, касающийся поверхностей. Прочтите, например, третий том “Фихтенгольца”.

Поздравляю вас с успешным окончанием занимательного курса по теория поля.. Надеюсь, получилось понятно, интересно и полезно, и теперь никто больше не будет бояться, по крайней мере, надуманных обозначений в учебниках.

Осталось только вручить вам лопату и отправить на бескрайнее поле векторного анализа =) Больше задач с решениями можно найти в соответствующем архиве. банк решенийбиблиотека mathprofi.comили на это библиотеку mathprofi.com или этот информационный бюллетень. Будьте внимательны и критичны – недостатки и ошибки могут быть повсюду.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Покажем контур интегрирования на рисунке:

(a) Решите задачу напрямую:

1) Вычислите циркуляцию вдоль отрезка . Из , то:

Составьте уравнения прямой линии через точку и ведущего вектора :
, откуда мы выражаем:

Значение варьируется от 0 до 3:

Проверьте решение другим способом!

2) Вычислим циркуляцию поля вдоль отрезка . Поскольку , , то:

Постройте уравнения прямой линии для точки и ведущего вектора :
, , откуда:

Найдите дифференциал:
варьируется от 3 до 0:

Решите независимо для переменной zet.

3) Вычислите циркуляцию поля вдоль отрезка . Из , то:

Выведем уравнения прямой, проведенной через точку и ведущий вектор :

В этом случае выгоднее выразить
меняется с 3 на 0:

Таким образом, циркуляция по замкнутому контуру:

(b) Вычислим циркуляцию векторного поля по формуле Стокса:

Найдем ротор векторного поля:
. В данном случае:

Таким образом:

Давайте сочиним уравнение плоскости точкой и векторами :

Давайте напишем нормальный вектор этой плоскости : и найдите соответствующий единичный вектор:

Примечание: от вершины этого вектора контур виден против часовой стрелки, следовательно, это и есть искомый нормальный вектор
Найдем скалярное произведение:

Таким образом:
Для расчета поверхностный интеграл типа 1 используем формулу , где – проекция треугольника на плоскость.
В данном случае:

Двойной интеграл равна площади треугольника :

Пример 4: РешениеДавайте сделаем рисунок:

1) Вычислим непосредственно работу векторного поля:

Таким образом:

2) Рассчитаем циркуляцию по формуле Стокса:
где – площадь, натянутая на контур
Давайте найдем. В данном случае:

Скалярное произведение:

Таким образом:

Спроецируйте поверхность на плоскость и используйте формулу
где – проекция поверхности . В этом случае :

Выполним преобразование к полярным координатам на плоскости :

Пример 5: РешениеЗапишем параметрические уравнения цилиндра:
(каждый действительное число)
Подставьте первые два уравнения в уравнение плоскости:

Таким образом, сечение цилиндра через плоскость (эллипс) дается уравнениями:

Найдите дифференциалы:

и вычислить циркуляцию векторного поля вдоль контура G в направлении, соответствующем изменению параметра в пределах :
Конечно, удобнее делать упрощения и вычислять интегралы отдельно =)

Попробуйте получить тот же результат с помощью формулы Стокса.

Автор: Александр Емелин

(Перейти на главную страницу)

“Все сдали!” – онлайновая служба помощи студентам

Если F – является силовым полем, то циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ работа поля при движении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле потенциально, если его циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю. Или, как следует из формулы Стокса, в любой точке поверхности D ротор поля равен нулю.

Историческая справка

Термин “циркуляция” был первоначально введен в гидродинамике для расчета движения жидкости через закрытый канал. Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости. Выберите любой контур Γ. Представьте, что мы (временно) заморозили весь объем жидкости, за исключением тонкого канала постоянного сечения, который включает контур Γ. Затем, в зависимости от начального характера потока жидкости, он будет либо неподвижен в канале, либо будет двигаться вдоль контура (циркулировать). В качестве характеристики такого движения принимаем величину, равную произведению средней скорости потока жидкости в канале и длины контура l:

поскольку в этом случае скорость будет точно определена по всему каналу, а объем циркуляции C даст (обобщенный) угловой момент для жидкости единичной плотности, соединенный с (обобщенной) координатой, характеризующей положение жидкости в целом в канале, соответствующее, несколько упрощенно, положению одной “пылинки” в жидкости, измеренному вдоль линейки, изгибающейся вдоль канала.

Поскольку при затвердевании стенок канала нормальная к контуру скорости составляющая погаснет (представьте, что это произойдет до того, как тангенциальная скорость в канале станет равной из-за несжимаемости жидкости), жидкость будет двигаться по каналу с тангенциальной составляющей начальной скорости сразу после затвердевания ” width=”” height=””>. Тогда циркуляция может быть представлена как

C=limity_<Gamma ><v_<tau ></p><dl>=limity_<Gamma ><mathbf<v>dmathbf<l>>>,” width=”” height=””><p>где dl – компонент длины контура.</p><p>Позже термин “циркуляция” был распространен на любое векторное поле, даже такое, в котором нечему “циркулировать” в буквальном смысле.</p><p><b>Проблема 12.</b> Найдите циркуляцию вектора $F$ по ориентированному контуру $L$. $ ƒoverline <f>= (3x-1) накладка<i>+ (y-x+z)-линия<j>+4z<k>, $L$ – контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ – точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ с координатными осями $Ox, Oy, Oz$ соответственно.</p><h2>Циркуляция векторного поля</h2><p><b>Проблема 10.</b> Найти модуль циркуляции векторного поля $line=xyline<i>+вызов надписи<j>+zx-overline<k>$ по контуру</p><p><p>по формуле Стокса и непосредственно (положительным считаем направление смещения контура, при котором точка движется по часовой стрелке, смотря из начала координат).</p><p><b>Проблема 12.</b> Найдите циркуляцию вектора $F$ по ориентированному контуру $L$. $overline <f>= (3x-1) $overline<i>+ (y-x+z)-линия<j>+4z<k>, $L$ – контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ – точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ с координатными осями $Ox, Oy, Oz$ соответственно.</p><p>Дуга <i>AB</i> является частью круга</p><h2>Циркуляция и поток векторного поля</h2><p><b>Проблема 1.</b> Найти циркуляцию векторного поля по контуру G: лежащему в плоскости , в направлении, положительном к orth. <i>K</i>.</p><p><b>Решение. Метод 1.</b> Контур G является <i>ABA</i>Половина окружности радиуса 1 с центром в начале координат и отрезком .</p><p><img decoding=

Поскольку поверхность замкнута, мы можем использовать формулу Остроградского-Гаусса:

Читайте далее:
Сохранить статью?