Полное сопротивление цепи переменного тока – Основы электроники

Приведя частное выражение к общему знаменателю, получим:

Содержание

Полное сопротивление цепи переменного тока

В предыдущих статьях мы узнали, что любое сопротивление, поглощающее энергию, называется активным сопротивлением, а любое сопротивление, не поглощающее энергию, называется неатомным или реактивным сопротивлением. Мы также выяснили, что пассивные сопротивления делятся на два типа – индуктивные и емкостные.

Однако существуют цепи, в которых сопротивление не является ни чисто активным, ни чисто реактивным. То есть существуют схемы, в которых наряду с активным сопротивлением в цепь включены и емкость, и индуктивность.

Давайте введем понятие полное сопротивление цепи переменному току – Zкоторая является векторной суммой всех сопротивлений (активных, емкостных и индуктивных) цепи. Понятие импеданса цепи необходимо для лучшего понимания закона Ома для переменного тока.

На рисунке 1 показаны варианты электрических цепей и их классификация в зависимости от того, какие элементы (активные или реактивные) включены в цепь.

cepi-peremennogo-toka

Рисунок 1. Классификация цепей переменного тока.

Полное сопротивление цепи с чисто реактивными элементами соответствует сумме активных сопротивлений цепи. Также обсуждаются чисто емкостные и индуктивные сопротивления цепи, которые являются функцией общей емкости и индуктивности цепи, соответственно.

Теперь рассмотрим более сложные варианты схемы, в которой последовательно с активным сопротивлением включены индуктивное и реактивное сопротивления.

При параллельном соединении (Рисунок 2) токи суммируются:

Сопротивление цепи переменного тока

Импеданс цепи переменного токаПри последовательном соединении реактивных и индуктивных сопротивлений (см. рис. 1) общее сопротивление цепи не может быть найдено путем арифметического суммирования. Если мы обозначим импеданс через z, то для его определения воспользуемся формулой:

Как вы видите, импеданс – это геометрическая сумма активного и реактивного сопротивления. Так, например, если r = 30 Ом и XL = 40 Ом, то

т.е. z меньше, чем r + XL = 30 + 40 = 70 Ом.

Для упрощения расчетов полезно знать, что если одно из сопротивлений (r или xL) в 10 или более раз больше другого, то меньшим сопротивлением можно пренебречь и принять z равным большему сопротивлению. Погрешность довольно мала.

Например, если r = 1 Ом и xL = 10 Ом, то

Ошибка всего в 0,5% является приемлемой, поскольку сопротивления r и x могут быть известны с меньшей точностью.

Когда ветви с активным и реактивным сопротивлениями соединены параллельно (рис. 2), удобнее рассчитывать общее сопротивление, используя активную проводимость

и пассивная проводимость

Общая проводимость цепи y равна геометрической сумме, активной и реактивной проводимостей:

А полное сопротивление цепи является обратной величиной к y,

Если мы выразим проводимость через сопротивление, то легко получим следующую формулу:

Эта формула аналогична известной формуле

но знаменатель – геометрическая сумма сопротивлений ветвей вместо арифметической суммы.

Пример. Найдите общее сопротивление, если параллельно соединенные устройства имеют r = 30 Ом и xL = 40 Ом.

При расчете z для параллельного соединения более высокое сопротивление можно для простоты игнорировать, если оно превышает более низкое сопротивление в 10 или более раз. Погрешность не должна превышать 0,5 %.

Последовательное соединение участков цепи с активным и индуктивным сопротивлением

Рисунок 1: Последовательное соединение участков цепи с сопротивлением и индуктивным сопротивлением

Параллельное соединение участков цепи с активным и индуктивным сопротивлением

Рисунок 2: Параллельное соединение активных и индуктивных участков импеданса цепи

Принцип геометрического сложения также используется в цепях переменного тока, когда необходимо сложить активные и реактивные напряжения или токи. Для последовательной цепи напряжения складываются в соответствии с рис. 1:

При параллельном соединении (рис. 2) токи суммируются:

Однако, если устройства, имеющие только одно активное сопротивление или только одно индуктивное сопротивление, соединены последовательно или параллельно, сопротивления или проводимости и соответствующие напряжения или токи и активные или реактивные мощности складываются арифметически.

Для любой цепи переменного тока закон Ома можно записать в следующей форме:

где z – полное сопротивление, рассчитанное для каждого случая подключения, как показано выше.

Коэффициент мощности cosφ для любой цепи равен отношению активной мощности P к полной мощности S. При последовательном соединении это отношение можно заменить отношением напряжений или сопротивлений:

При параллельном соединении получаем:

Вывод основных расчетных формул для последовательной цепи переменного тока с активными и индуктивными сопротивлениями может быть выполнен следующим образом.

Самый простой способ – построить векторную диаграмму для последовательной цепи (рис. 3).

Векторная диаграмма для последовательной цепи с индуктивным и активным сопротивлением

Рисунок 3: Векторная диаграмма последовательной цепи с активным и индуктивным сопротивлением

На этой диаграмме показан вектор тока I, вектор напряжения UA на активной стороне, совпадающий по направлению с вектором I, и вектор напряжения UL на индуктивном резисторе. Напряжение опережает ток на 90° (помните, что векторы должны вращаться против часовой стрелки). Общее напряжение U является целочисленным вектором, т.е. диагональю прямоугольника со сторонами UA и UL. Другими словами, U – противолежащий прямоугольник, а UA и UL – катеты правильного треугольника. Из этого следует, что

Т.е. напряжения на активной и реактивной секциях складываются в геометрической прогрессии.

Как определить импеданс линии Сопротивление сети току: определение сопротивления сети, формула для последовательного соединения.

Интегрированное сопротивление

Основное преимущество предполагаемых источников заключается в том, что все напряжения и токи являются комплексными экспонентами. Это помогает проследить поведение каждого элемента в цепи.

Для резистора v = Ri. Из приведенного выше напряжения следует, что i = V/R e jωt . Таким образом, напряжение на резисторе является комплексным, как и ток с амплитудой I = V/R. Для конденсатора i = C – dv/dt. Пусть напряжение ведет себя как комплексная экспонента (i = jωCVe jωt ), а амплитуда для него: I = jωCV .

Отсюда следует, что отношение Z = V/I не зависит от времени, но зависит от частоты источника. Это общее сопротивление элемента. Он представляет собой отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока. Полное сопротивление резистора равно R, а сопротивление конденсатора (C) равно 1/jωC. Чтобы найти полное сопротивление RC-цепи, сложите полные сопротивления двух элементов: Z = R + 1/jωC.

Понятие импеданса используется в различных областях науки. Существуют различные его формы: гидродинамический, артериальный (медицинский термин, он состоит из статического и кинетического компонента), используемый для измерения гидростатического давления. Существует также электрическое сопротивление, которое описывает общее сопротивление части цепи. Электрик должен знать, от чего зависит эта величина и как она рассчитывается в однофазных и трехфазных цепях с трансформаторами тока и другими компонентами.

Чтобы рассчитать импеданс цепи, необходимо понять, как ведут себя различные компоненты, составляющие цепь, такие как индукторы, резисторы и емкостные элементы, с точки зрения их вклада в общее сопротивление цепи.

Активное сопротивление

Резистор – это пассивный компонент цепи, который не содержит внутренних источников электричества, и почти все сопротивление, которое он создает, находится в активном компоненте. Реактивный компонент, если он присутствует, настолько мал, что его часто не замечают. Это объясняется тем, что связь между напряжением на элементе и протекающим через него электрическим током не зависит от их частоты. Когда источник напряжения (обозначим его U) подключен к резистивному элементу, через него будет протекать электрический ток I. Если к концам радиоэлемента подключить источник тока, равный I, то между ними возникнет падение напряжения U.

Важно! Выражение для сопротивления резистора может быть записано как: R=U/I.

Резисторы - источники активного сопротивления

Сопротивление

Основными элементами в электрических цепях, несущими этот заряд, являются дроссели (и подобные индуктивные элементы) и конденсаторы. При достижении резонанса общее сопротивление конденсатора и дросселя, соединенных последовательно, наименьшее, а общее сопротивление конденсатора и дросселя, соединенных параллельно, наибольшее.

Индуктивная нагрузка

Если индуктивный дроссель подключить к постоянному току, то возникнут следующие эффекты: удельное сопротивление приблизится к нулю, и когда через элемент катушки протекает электрический ток, падения напряжения не будет, независимо от величины тока:

Такие значения справедливы для идеального дросселя; на практике они немного отклоняются от нуля. Если к элементу приложен переменный ток, напряжение между выводами катушки будет отлично от нуля.

Индуктивная катушка

Емкостная нагрузка

Когда идеальный элемент конденсатора подключен к сети с постоянным напряжением, его удельное сопротивление будет очень высоким, стремящимся к бесконечности. Когда это напряжение приложено к ВЧ-элементу, ток, протекающий через него, будет равен нулю. Если к клеммам конденсатора подключен источник переменного напряжения, ток будет ненулевым.

Компоненты с емкостным сопротивлением

Эти эффекты, наблюдаемые на емкостных ВЧ элементах и индукторах, не могут быть описаны в терминах активного противодействия в условиях постоянного электрического тока, поскольку последнее подразумевает стабильное, не зависящее от условий и не изменяющееся во времени соотношение электрического тока и напряжения и исключает явление сдвига фаз между этими величинами. Поэтому целесообразно ввести для реактивных частей характеристику, связывающую электрический ток с напряжением так же, как активное противодействие в законе Ома для постоянного тока.

Важно! При рассмотрении поведения индукторов и конденсаторов под воздействием гармонических сигналов было обнаружено, что ток и напряжение могут быть связаны постоянной величиной, также называемой импедансом. При его изучении применяется концепция гармонических сигналов, учитывающая как их амплитудные характеристики, так и фазовые.

Этот импеданс можно определить как комплексную амплитуду напряжения, приложенного к биполярному элементу, и комплексную амплитуду электрического тока, протекающего через этот элемент. Для пассивных цепей в установившемся режиме стоит сказать, что значение импеданса не будет связано с течением времени. Если параметр времени в формуле не уменьшен, то категория импеданса для данной двухполюсной цепи не будет применяться.

Формула

Электрическое сопротивление – это физическая величина, которая описывает сопротивление проводника или цепи электрическому току.

Электрическое сопротивление определяется как отношение $R$ между напряжением $U$ и постоянным током $I$ в законе Ома для цепи.

Единица сопротивления называется ом (Ом) в честь немецкого ученого Г. Ома, который ввел этот термин в физику. Один Ом ($1$ Ом) – это сопротивление проводника, сила тока в котором равна $1$ А при напряжении $1$ В.

Специфическое сопротивление

Сопротивление однородного проводника постоянного сечения зависит от материала, из которого изготовлен проводник, его длины $l$ и площади поперечного сечения $S$ и может быть определено по формуле:

где $ρ$ – удельное сопротивление материала, из которого изготовлен проводник.

Удельное сопротивление вещества – это физическая величина, показывающая, насколько велико сопротивление проводника единичной длины и единичной площади поперечного сечения, изготовленного из этого вещества.

Из формулы $R=ρ/$ определяется по формуле $ρ

Обратная величина $ρ$ называется удельным сопротивлением $σ$:

Поскольку единица сопротивления в СИ равна $1$ Ом, единица площади – $1м^2$, а единица длины – $1$м, единица удельного сопротивления в СИ равна $1$ Ом-м^2$/м, или $1$ Ом$-$м. Единицей СИ удельного сопротивления является $Om^<-1>m^<-1>$$.

На практике площадь поперечного сечения тонких проводов часто выражается в квадратных миллиметрах (m$m^2$$). В этом случае более удобной единицей измерения удельного сопротивления является Ом$-$м$^2$/м. Поскольку 1$ мм^2$ = 0,000001 м^2$, то 1$ Ом$-$м $м^2$/м$ = 10^<-6>$ Ом$-$м. Металлы имеют очень низкое удельное сопротивление порядка ($1 -10^<-2>$) Ом$-$м$^2$/м, диэлектрики $10^<15>-10^<20>$ в разы больше.

Температурная зависимость сопротивления

При повышении температуры сопротивление металлов увеличивается. Однако существуют сплавы, сопротивление которых не сильно меняется с повышением температуры (например, константан, марганец и т.д.). Напротив, сопротивление электролитов уменьшается с повышением температуры.

Температурный коэффициент сопротивления проводника – это отношение изменения сопротивления проводника после нагрева на 1°C к его значению сопротивления при температуре

Индуктивное сопротивление

Пусть определенная часть цепи имеет только индуктивность (рис.3). Считайте, что $I>0$, если ток направлен от $a$ к $c$.

Закон Ома для переменного тока

Если в катушке течет ток, то в индуктивности возникает ЭДС самоиндукции, поэтому закон Ома примет вид:

По условию $R=0. Математически E$ самоиндукции можно выразить как:

Из выражений (8), (9) следует, что:

Амплитуда напряжения в этом случае равна:

где $X_L- $ индуктивное сопротивление (кажущееся сопротивление индуктивности).

°$С:

Температурная зависимость удельного сопротивления проводника выражается формулой:

В общем случае $α$ зависит от температуры, но если температурный интервал мал, то температурный коэффициент можно принять за постоянный. Для чистых металлов $α=(<1>/<273>)K^<-1>$. Для растворов электролитов $α < 0$. Например, для $10%$-ного раствора поваренной соли $α=-0,02K^<-1>$. Для константана (сплав меди и никеля) $α=10^<-5>K^<-1>$.

Температурная зависимость сопротивления проводника используется в термометрах сопротивления.

Пусть ток в цепи с индуктивностью L (рис. 6.7, a)

Элементы и параметры цепей переменного тока

Все реальные электрические устройства имеют электрическое сопротивление R, индуктивность L и емкость C, которые являются параметрами электрической цепи переменного тока. Однако влияние каждого параметра на ток цепи различно, поэтому в некоторых случаях из расчетной схемы исключаются те, влияние которых незначительно.
Таким образом, схема цепи переменного тока характеризуется одним из вышеперечисленных параметров R, L, C или их комбинацией с различными способами соединения элементов.

Цепи с активным сопротивлением

Электрические лампочки, резистивные плиты, бытовые нагреватели, реостаты и другие потребители, в которых электричество преобразуется в тепловую энергию, обычно представлены на электрических схемах только сопротивлением R.

Цепь, показанная на рисунке 13.1, а, имеет сопротивление R и напряжение, которое изменяется по закону
Цепи переменного тока

Необходимо определить ток и мощность цепи.

Цепи переменного тока

Рис. 13.1 Для цепи с сопротивлением

Цепи переменного тока

Рисунок 13.2 График мгновенной мощности в цепи с активным сопротивлением

Ток в цепи

Найдите выражение для мгновенного тока в соответствии с законом Ома:
Цепи переменного тока
где Цепи переменного тока– амплитуда тока.

Из уравнений напряжения и тока следует, что начальные фазы обеих кривых одинаковы, т.е. напряжение и ток в цепи с сопротивлением R имеют одинаковую фазу. Это показывают графики и векторная диаграмма (рис. 13.1, б, в).
Найдите среднеквадратичный ток, разделив амплитуду на Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
следовательно
Цепи переменного тока
Формула (13.1) выражает закон Ома для цепи переменного тока с сопротивлением R. Она не отличается от формулы (2.6) для цепи постоянного тока, если переменные напряжения и токи выражены как среднеквадратичные значения.

Мгновенная мощность

При изменении напряжения и тока изменяется и степень преобразования электрической энергии в нагрузке, т.е. ее мощность. Мгновенная мощность равна произведению мгновенных значений напряжения и тока:
Цепи переменного тока
Из тригонометрии следует, что
Цепи переменного тока
Принимая это во внимание, мы пишем
Цепи переменного тока
Лучшее представление о характере изменения мощности в цепи дает график в прямоугольной системе координат, построенный после перемножения ординат кривых напряжения и тока, соответствующих ряду значений их общего аргумента – времени t. Зависимость мощности от времени представляет собой периодическую кривую (рис. 13.2).

Если ось времени t поднять вдоль рисунка на величину p = Pm/2 = UmIm/2, то относительно новой оси t’ график мощности представляет собой синусоиду с удвоенной частотой и начальной фазой 90°:
Цепи переменного тока
Таким образом, в исходной системе координат мгновенная мощность равна сумме постоянной Цепи переменного токаи переменная p’: Цепи переменного тока
Анализируя график мгновенной мощности, легко заметить, что мощность остается положительной в течение этого периода, хотя ток и напряжение меняют знак. Это происходит из-за совпадения фаз напряжения и тока.

Признак постоянной мощности означает, что направление потока электроэнергии остается постоянным в течение определенного периода времени, в данном случае от сети (от источника энергии) к нагрузке с сопротивлением R, где электроэнергия необратимо преобразуется в другую форму энергии. В этом случае электрическая энергия называется активной энергией.

Если R – сопротивление проводника, то, согласно закону Ленца-Джоуля, электрическая энергия в проводнике преобразуется в тепловую.

Активная энергия

Скорость, с которой электрическая энергия преобразуется в другую форму энергии за конечный период времени, гораздо больший, чем период изменения тока, называется средней мощностью. Она равна средней мощности за определенный период времени, которая называется активной мощностью.

Активная мощность – это среднее арифметическое значение мгновенной мощности за определенный период.

Для рассматриваемой цепи активную мощность P несложно определить по графику на рисунке 13.2.
Средняя мощность равна высоте прямоугольника с основанием T, равным площади, ограниченной кривой p(t) и осью абсцисс (заштрихована на рисунке).
Равенство площадей PT = Sр выполняется, если высота прямоугольника принимается равной половине максимальной мгновенной мощности Pm.
В этом случае часть площади Sрнад прямоугольником точно вписывается в оставшуюся незатененной часть прямоугольника:
Цепи переменного тока
Активная мощность цепи с сопротивлением равна произведению среднеквадратичных значений напряжения и тока:
Цепи переменного тока
Математически активная мощность является постоянной составляющей в уравнении мгновенной мощности p(t) [см. выражение (13.2)].
Средняя мощность за период может быть найдена путем интегрирования уравнения (13.2) по периоду:
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Поэтому,
Цепи переменного тока
Сопротивление R, определяемое из уравнения (13.3) отношением активной мощности цепи к квадрату среднеквадратичного тока, называется активным электрическим сопротивлением.

Цепь с индуктивностью

Приведенная ниже схема, содержащая только индуктивность, является искусственной, поскольку катушки, линии электропередачи и другие устройства имеют активное сопротивление в дополнение к индуктивности L.
Однако рассмотрение идеальной катушки (с R = 0) необходимо для понимания физических процессов в реальных цепях.

Цепи переменного тока

Рисунок 13.4: К вопросу о цепи с индуктивностью

Это важно, поскольку в некоторых случаях сопротивлением и емкостью можно пренебречь из-за их малого размера. Например, ненагруженный трансформатор в некоторых случаях может быть представлен на схеме только своей индуктивностью.
Предположим, что для некоторой цепи (рис. 13.4, а), индуктивность L и ток которой изменяются по закону

Цепи переменного тока

Необходимо определить напряжение и мощность цепи.

Индуктивное напряжение

Переменный ток в катушке вызывает самоиндукцию. В отсутствие активного резистора напряжение, приложенное к катушке, уравновешивается только, например, самоиндукцией, поэтому, согласно второму закону Кирхгофа, в любой момент времени Цепи переменного тока
Эффективность самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока [см. уравнение (10.10)].Цепи переменного тока
и напряжение
Цепи переменного тока
Уравнение для приложенного напряжения можно найти, посмотрев на векторную диаграмму на рис. 13.5, где ток представлен вектором Imкоторая, по предположению, вращается с угловой скоростью, равной угловой частоте ω. В начальном положении (в момент времени t = 0), вектор Im направлена вдоль горизонтальной оси вправо. Это соответствует текущему уравнению (13.4), если мгновенные значения i определяются проекцией вектора вращения Im на вертикальной оси.

Цепи переменного тока

Рис. 13.5: Векторная диаграмма цепи с индуктивностью

Рассмотрим промежуточные положения вектора Im, сдвинутая относительно начальной на угол Цепи переменного токаи Цепи переменного токагде dφ – элементарный угол, под которым вектор Im вращается за небольшой промежуток времени dt. За время dt ток изменился на di. Приращение тока выражается катексисом правильного треугольника abc, гипотенуза которого ab, с очень малым углом dφ, может быть отождествлена с дугой окружности между точками a и b, а угол при вершине b равен φ. Таким образом, отрезок ab на текущей шкале имеет значение Цепи переменного токаи Цепи переменного тока
Уравнение натяжения
Цепи переменного тока
Но
Цепи переменного тока
поэтому
Цепи переменного тока

Это уравнение можно получить путем дифференцирования уравнения тока:
Цепи переменного тока

Индуктивное сопротивление

Эффективная величина напряжения определяется из уравнения (13.5), где Цепи переменного тока– амплитуда напряжения.

Разделив это выражение на Цепи переменного токаполучаем .
Цепи переменного тока
Следовательно,
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Коэффициент пропорциональности между эффективными величинами напряжения и тока, равный произведению индуктивности и угловой частоты ωL, обозначается как XL и называется индуктивной реактивностью или индуктивным сопротивлением e m.
Индуктивное сопротивление выражается в омах:
Цепи переменного тока

Среднеквадратичный ток в цепи с индуктивностью равен отношению среднеквадратичного напряжения к индуктивному сопротивлению.

Формула (13.6) аналогична формуле Ома. Таким образом, ток в цепи с индуктивностью может быть определен так же, как и ток в цепи с сопротивлением. Заметим, однако, что индуктивное сопротивление с физической точки зрения не имеет ничего общего с обычным сопротивлением. Понятие индуктивного сопротивления, введенное для облегчения расчетов, заменяет реальное влияние собственной индуктивности э.д.с. на ток в пеннике, т.е. отражает инерционные свойства цепи.

Векторная диаграмма цепи

Из сравнения уравнений для тока (13.4) и напряжения (13.5) следует, что В цепи с индуктивностью ток отстает по фазе от напряжения на четверть периода, или в угловом измерении на π/2. Это также можно увидеть на рис. 13.5. Мгновенное напряжение выражается отрезком o-d на шкале, которая отличается от шкалы тока на коэффициент ωL. Перенесем этот отрезок на вертикальную ось (отрезок o-d’), где откладываются мгновенные значения тока. Это мгновенное напряжение соответствует вектору Umведущий вектор Im в направлении вращения на угол 90°. Коэффициент самоиндукции e.f., направленный против приложенного напряжения, имеет вид Eq.
Цепи переменного тока
и представлена на рис. 13.5 вектором Emс задержкой относительно вектора тока Im o 90°. На рис. 13.4 это показано отдельно на графике и на векторной диаграмме (векторная диаграмма показывает эффективные значения).

Мгновенная и реактивная мощность

Мгновенная мощность Цепи переменного токаили
Цепи переменного тока
Диаграмма изменения мощности (рисунок 13.6) представляет собой синусоиду с двойной частотой и амплитудой
Цепи переменного тока
или
Цепи переменного тока
Наибольшая мощность в цепи с индуктивностью равна произведению среднеквадратичных напряжений и токов.

Чтобы объяснить физический смысл энергетических процессов, давайте снова обратимся к диаграмме мощности. Он показывает, что мгновенная мощность меняет знак четыре раза за период (в моменты времени T/4; T/2; 3/4T; T). Изменение знака силы означает, что направление потока энергии меняется на противоположное.

Цепи переменного тока

Рисунок 13.6: Диаграмма мгновенной мощности в цепи с индуктивностью

В первой четверти периода, когда ток в цепи увеличивается, энергия накапливается в магнитном поле катушки за счет энергии источника. Катушка в этот момент является потребителем энергии, ток направлен против ЭДС самоиндукции. Во второй четверти периода, по мере уменьшения тока, энергия возвращается в сеть (источник).

Направления тока самоиндукции э.д.с. и тока катушки совпадают – катушка является источником энергии. В следующем полупериоде процесс повторяется. Легко заметить, что количество энергии, запасенной в катушке в течение одной четверти периода (заштрихованная область “+”), в точности равно количеству энергии, возвращенной в течение следующей четверти периода (заштрихованная область “-“).

Средняя (активная) мощность за период в цепи с индуктивностью равна нулю (P = 0), поскольку в цепи с индуктивностью не происходит преобразования электрической энергии в другие формы энергии (тепловую, механическую).

Скорость накопления и распада энергии магнитного поля изменяется по гармоническому закону. Амплитуда кривой мгновенной мощности Q является характеристикой этого процесса и называется реактивной мощностью.
Единицей мощности в данном случае является var – вольт-ампер реактивный – в отличие от единицы активной мощности – ватта.

Проблема 13.4.

Катушка имеет индуктивность L = 15,9 мГн, активное сопротивление R = 0. Постройте график зависимости сопротивления индуктивности и тока в катушке от частоты приложенного напряжения, если среднеквадратичное напряжение U = 100 В остается неизменным.
Решение. Определите несколько значений частоты, определите соответствующие сопротивления индуктивности, а затем значения тока.
Для частоты f = 50 Гц
Цепи переменного тока

Цепи переменного тока

Используя результаты для других частот (f = 0.25, 100, 500, 1000, 10.000 Гц), постройте графики в прямоугольной системе координат в соответствии с заданием.

Цепь с емкостью

Предполагается, что в конденсаторе с идеальным диэлектриком отсутствует ток проводимости и нет потерь энергии. Изменение напряжения между выводами конденсатора сопровождается перемешиванием электрического тока, величина которого зависит от емкости C. При напряжении на конденсаторе (рис. 13.7, а) Цепи переменного токаопределить ток и мощность.

Цепи переменного тока

Рис. 13.7, Для вопроса о цепи с емкостью

Электрический реактивный ток

Внешнее электрическое поле вызывает поляризацию диэлектрика.
Любое изменение электрического поля изменяет полярность диэлектрика, и связанные заряженные частицы, составляющие атомы и молекулы вещества, перемещаются, образуя электрический ток.

Явление движения связанных заряженных частиц в диэлектрике при изменении полярности диэлектрика называется электрическим поляризационным током.

Ток поляризации, согласно уравнению (2.2),
Цепи переменного тока
где σ – плотность плавучести электрического заряда; следовательно
Цепи переменного тока
где Цепи переменного тока– плотность поляризационного тока.
Из уравнения (7.20) следует, что плотность поляризационного тока равна скорости изменения поляризации:

Цепи переменного тока
При изменении электрического поля изменяется не только вектор поляризации P, но и вектор электрического смещения в вакууме D0Из выражений (7.22) и (7.24) следует, что
Цепи переменного тока
Второй член в правой части этого уравнения представляет собой плотность поляризационного тока, связанного с движением заряженных диэлектрических частиц. Первый член также имеет размерность плотности тока, но описывает физический процесс, происходящий в самом электрическом поле при его изменении во времени.
Значение Цепи переменного токаназывается плотностью электрического смещения в вакууме. Общая плотность пассивного электрического тока
Цепи переменного тока
Введение понятия тока смещения позволяет рассматривать электрическую цепь с конденсатором как непрерывную цепь: в проводниках течет ток проводимости, а в диэлектрике – равный ток смещения.

Ток в цепи с емкостью

Заряд конденсатора пропорционален напряжению между его выводами [см. уравнение (7.28)], поэтому изменение напряжения сопровождается изменением заряда:
Цепи переменного тока
Скорость изменения заряда пропорциональна скорости изменения напряжения:
Цепи переменного тока
Но скорость изменения заряда равна электрическому току [см. уравнение (2.2)]:
Цепи переменного тока
В то же время электроны (ток проводимости) движутся через источник во внешней цепи в конденсатор. Одновременно с увеличением напряжения диэлектрик в конденсаторе поляризуется, и возникает ток смещения. Когда напряжение уменьшается, диэлектрик становится деполяризованным.

Таким образом, ток в цепи с конденсатором пропорционален скорости изменения напряжения на его витках.

Уравнение (13.8) имеет вид, аналогичный уравнению (13.5). Поэтому характер изменения тока при синусоидальном напряжении можно проследить на векторной диаграмме так же, как и для цепи с индуктивностью (см. рис. 13.5), соотнося рассуждения со скоростью изменения напряжения.

На схеме векторы тока и напряжения должны быть инвертированы. Поэтому уравнение тока для цепи с емкостью может быть записано так же, как и уравнение напряжения для цепи с индуктивностью:
Цепи переменного тока
Уравнение тока можно получить, продифференцировав уравнение напряжения:
Цепи переменного тока

Емкость

Значение Цепи переменного токаамплитуда тока. Разделив это выражение на Цепи переменного токаполучаем .

Цепи переменного тока
Значение Цепи переменного токаобозначается XС и называется емкостью или емкостным сопротивлением. Емкость является обратной величиной произведения емкости и угловой частоты.

Среднеквадратичный ток в цепи с емкостью равен отношению среднеквадратичного напряжения к емкости.

Формула (13.10) совпадает с формулой Ома. Однако емкость физически не имеет ничего общего с обычным сопротивлением R.

Понятие емкости, введенное для упрощения расчетов, отражает в расчетах сопротивление заряженного конденсатора току в цепи.
Из сравнения уравнений для напряжения и тока следует, что В цепи с емкостным зарядом напряжение запаздывает по отношению к току на четверть периода, или, в угловом выражении, на π/2. На рисунке 13.7, b, c это показано в виде графика и векторной диаграммы.

Мощность в цепи

Построение диаграммы мгновенной мощности (рис. 13.8) выполняется точно так же, как и для цепи с индуктивностью, помня, что мгновенная мощность выражается тем же произведением
Цепи переменного тока
или
Цепи переменного тока

Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Рисунок 13.8: Диаграмма мгновенной мощности в цепи с емкостью

На графике видно, что мгновенная мощность, как и в цепи с индуктивностью, меняет знак четыре раза за период. В первой четверти периода, когда напряжение на конденсаторе увеличивается, энергия накапливается в электрическом поле конденсатора за счет работы источника. В это время конденсатор заряжен, т.е. является приемником энергии: направления тока и приложенного напряжения совпадают. Во второй четверти периода, когда напряжение падает, энергия в том же количестве возвращается в сеть (к источнику), ток в цепи направлен противоположно напряжению сети, т.е. конденсатор является источником энергии (разряжается).

Используя те же рассуждения, что и для цепи с индуктивностью, находим, что активная мощность в цепи с емкостью равна нулю (P = 0), а реактивная мощность равна произведению среднеквадратичных значений напряжения и тока:
Цепи переменного тока
Таким образом, в цепи с емкостью, как и в цепи с индуктивностью, не происходит преобразования электрической энергии в другие формы энергии (тепловую, механическую).

Задание 13.7. Определенный конденсатор имеет емкость C = 637 мкФ. Постройте график зависимости емкости и тока в конденсаторе от частоты приложенного напряжения, среднеквадратичное значение которого U = 100 В остается неизменным.
Решение. Для решения этой задачи необходимо определить несколько значений частоты. Найдите соответствующие значения емкости, а затем тока.
Для частоты 50 Гц
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Используя результаты расчетов для других частот (f = 0,25, 100, 500, 1000, 10 000 Гц), постройте графики в прямоугольной системе координат в соответствии с задачей.

Цепь с катушкой реальной индуктивности

Реальная катушка отличается от идеальной тем, что переменный ток в ней сопровождается не только изменением энергии в магнитном поле, но и преобразованием электрической энергии в другую форму. В частности, в проволочной катушке электрическая энергия преобразуется в тепловую в соответствии с законом Ленца-Джоуля.

Ранее было сказано, что в цепи переменного тока процесс преобразования электрической энергии в другую форму характеризуется активной мощностью цепи P, а изменение энергии в магнитном поле – реактивной мощностью Q.

В реальной катушке происходят оба процесса, т.е. ее активная и реактивная мощности отличны от нуля. Поэтому реальная катушка должна быть представлена активным и реактивным элементом в эквивалентной схеме.
Разделение реальной катушки на два элемента является искусственным, поскольку эти два элемента структурно неразделимы. Однако реальная цепь с двумя элементами, которые структурно не связаны, может быть представлена одной и той же схемой, один с активной мощностью P (Q = 0), а другой с реактивной (индуктивной) мощностью Q (P = 0).

Принципиальная схема для катушки с последовательным соединением

В последовательной цепи реальная катушка характеризуется активным сопротивлением R и индуктивностью L.
Активное сопротивление определяется величиной потери мощности
Цепи переменного тока
а индуктивность обусловлена конструкцией катушки. Предположим, что ток в катушке (рис. 13.9, а) выражается уравнением Цепи переменного токаНеобходимо определить напряжение в цепи и мощность.

Цепи переменного тока

Рис. 13.9: Эквивалентная схема реального индуктора (цепь R, L)

При переменном токе в этой катушке, eLгенерируется в катушке, поэтому ток является функцией приложенного напряжения и eL. Уравнение равновесия цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа имеет вид
Цепи переменного тока
или
Цепи переменного тока
Напряжение, приложенное к катушке, состоит из двух компонентов, один из которых uR равен падению напряжения на активном резисторе, а другой Цепи переменного токауравновешивает индуктивную э.ф. самоиндукции.
Поэтому индуктор может быть представлен в цепи активным резистором и индуктивным резистором, соединенными последовательно (рис. 13.9, б).
Кроме того, отметим, что оба выражения в правой части уравнения (13.12) являются синусоидальными функциями времени. Из полученных выводов следует, что uR находится в фазе с током, а uL опережает течение на 90°.
Поэтому
Цепи переменного тока

Векторная диаграмма напряжений. Сопротивление катушки

Несовпадение фаз членов в выражении (13.12) затрудняет определение амплитуды и среднеквадратичного значения приложенного напряжения U. Поэтому мы используем векторный метод сложения синусоидальных величин. Амплитуды общих составляющих напряжения
Цепи переменного токаЦепи переменного тока

и среднеквадратичное значение
Цепи переменного токаЦепи переменного тока
Общий вектор напряжения

Цепи переменного тока
Чтобы найти величину вектора U, построим векторную диаграмму (рис. 13.10, (a) предварительно выбрав текущую шкалу Mi и напряжение Mu.
В качестве начального вектора графа мы берем текущий вектор I. Направление этого вектора совпадает с положительным направлением оси, с которой считываются фазовые углы (начальная фаза данного тока ψi = 0). Как и раньше, удобно (но не обязательно) направлять эту ось горизонтально.

Вектор UR совпадает по направлению с вектором тока I и вектором UL направлен перпендикулярно вектору I под положительным углом.

Из графика видно, что вектор тока I полного напряжения U отражает вектор тока I под углом φ > 0, но XC

Цепи переменного тока

Рисунок 14.3 Векторная диаграмма в точке XL 0) (фазовые углы отсчитываются от вектора тока).

2. Цепи переменного тока. Векторная диаграмма показана на рисунке 14.3, где UL 0 Q > 0; при φ fр.

Расчет неразветвленных цепей переменного тока

Процедура расчета, установленная для цепи с последовательно соединенными индуктором и конденсатором, также может быть применена к цепи, содержащей любое количество последовательно соединенных индукторов и конденсаторов.
На рис. 14.7 показан пример неразветвленной цепи, состоящей из пяти контуров: конденсатора (R1, Х1) и индуктор (R2, Х2), представленные активным и реактивным сопротивлением; резистор R3, идеальный конденсатор X4 и катушка X5.

Цепи переменного тока

Рисунок 14.7: Схема неразветвленной цепи и ее векторная диаграмма

Предположим, что помимо сопротивления нам также известен ток в цепи i = Imsinωt.
Найдите напряжения на сегментах, общее напряжение в цепи и мощность.

Векторная диаграмма

Выберите условно положительное направление тока i, как показано на рисунке. Для мгновенных значений в соответствии со вторым законом Кирхгофа, приравняем для напряжений
Цепи переменного тока
Обращаясь к среднеквадратичным значениям напряжений, напишите векторную сумму:
Цепи переменного тока
Численно векторы напряжения определяются произведением тока и сопротивления данного участка.

На рисунке 14.7, б показана векторная диаграмма, соответствующая этому уравнению. Как обычно для неразветвленных цепей, вектор тока принимается за начальный вектор, а затем для каждого участка цепи строятся векторы падения напряжения, направления которых относительно вектора тока выбираются в зависимости от характера сопротивления участков.
При построении диаграммы напряжения точкой отсчета является точка 6, которая совпадает с началом вектора тока I. Из этой точки вектор U индуктивное пассивное напряжение (сдвиг фазы тока на 90°) между точками 5 и 6 цепи. Его конец идентифицируется вектором U емкостного реактивного напряжения (задержанного по фазе на 90° по отношению к току) между точками 4 и 5 цепи. Тогда вектор U3a активное напряжение на резисторе (совпадающее по фазе с током) между точками 3 и 4 цепи, и так далее, если следовать по цепи в направлении, противоположном направлению тока. Точки на векторной диаграмме, где начало следующего вектора совпадает с концом предыдущего вектора, обозначаются теми же номерами, что и точки, отделяющие один элемент от другого на диаграмме.
При такой конструкции напряжение между любыми двумя точками цепи может быть найдено по величине и фазе путем построения вектора на графике между точками с одинаковыми номерами. Например, напряжение U5.2 между точками 5 и 2 выражается вектором, проведенным из точки 2 в точку 5 (вектор U5.2 меняется на противоположное); напряжение U3.1 между точками 3 и 1 выражается вектором, проведенным из точки 1 в точку 3.

Векторные диаграммы, построенные в соответствии с чередованием элементов схемы, называются топографическими диаграммами, поскольку точки, отделяющие векторы друг от друга, соответствуют точкам, разделяющим элементы схемы.

Формулы расчета

Из векторной диаграммы видно, что все активные компоненты векторов напряжения направлены в одну сторону, параллельно вектору тока, поэтому мы можем заменить векторное сложение на арифметическое и найти активную компоненту напряжения цепи:Цепи переменного тока
Реактивные компоненты векторов напряжения перпендикулярны вектору тока, при этом индуктивные напряжения направлены в одну сторону, а емкостные – в другую. Таким образом, реактивная составляющая напряжения цепи Uр это их алгебраическая сумма, где индуктивные напряжения считаются положительными, а емкостные – отрицательными: Цепи переменного тока
Векторы активного, реактивного и полного напряжения цепи образуют правильный треугольник, из которого следует, что
Цепи переменного тока
Подставляя падения напряжения, выраженные в терминах тока и соответствующих сопротивлений, получаем:
Цепи переменного тока
Таким образом, мы снова имеем хорошо известную формулу, связывающую ток, напряжение и сопротивление цепи [ср. (14.4) и (14.1)].
В этой формуле Цепи переменного тока– общее активное сопротивление, равное арифметической сумме всех активных сопротивлений, входящих в неразветвленную цепь; Цепи переменного тока– общее реактивное сопротивление, равное алгебраической сумме всех реактивных сопротивлений, включенных в неразветвленную цепь. В этой сумме индуктивные сопротивления считаются положительными, а емкостные – отрицательными. Импеданс неразветвленной цепи
Цепи переменного тока
В общем случае общее сопротивление цепи задается гипотенузой правильного треугольника, сопротивления и реактивности цепи, выраженные в заданном масштабе. Это следует из треугольника сопротивления:
Цепи переменного тока
От треугольника напряжения можно перейти к треугольнику мощности и получить ставшие уже привычными формулы для определения мощности в цепи:
Цепи переменного тока
В то же время, активная мощность цепи может быть представлена как арифметическая сумма активных мощностей в элементах с активным сопротивлением. Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме мощностей реактивных элементов.
В этой сумме мощности индуктивных элементов считаются положительными, а емкостных – отрицательными:
Цепи переменного тока
Формулы (14.2)-(14.7) являются общими; из них можно вывести конкретное выражение для любой неразветвленной цепи.

Задача 14.3.

Определите ток и балансную мощность для цепи, показанной на рис. 14.8. Нарисуйте топографическую схему и используйте ее для определения напряжения U8.5 между точками 8 и 5 и U6.1 между точками 6 и 1.
Дано:
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока

Цепи переменного тока

Рис. 14.8 К задаче 14.3

Решение. Согласно второму закону Кирхгофа, сформулируем уравнение напряжения в векторной форме, предварительно выбрав условно положительные направления тока и силы тока в цепи (разумно выбрать их одинаковыми независимо от режима работы источника тока, так как полученный в результате расчета фазовый угол подскажет нам истинный режим его работы):

Цепи переменного тока

Цепи переменного тока
Общее активное сопротивление
Цепи переменного тока

Полное реактивное сопротивление
Цепи переменного тока
Как вы можете видеть, общее реактивное сопротивление имеет емкостную природу. Общее сопротивление цепи
Цепи переменного тока
Эффективные значения ЭДС:
Цепи переменного тока

Цепи переменного тока
Для определения эффективного значения суммы двух э.д.с. ( E1 + Е2) построим векторную диаграмму (рис. 14.9, а) (рекомендуется строить диаграмму на отдельном листе миллиметровой бумаги с масштабом Mи = 40 В/см).
Из измерения вектора Е следует, что значение полного электрического тока Е = 200 В. Значение E.D.s можно найти, если учесть, что его компоненты взаимно перпендикулярны. В этом случае
Цепи переменного тока
Текущая страница
Цепи переменного тока
Напряжения в различных частях цепи:
Цепи переменного токаЦепи переменного тока
Цепи переменного токаЦепи переменного тока
Цепи переменного токаЦепи переменного тока
Цепи переменного тока

Чтобы построить векторную топографическую схему (рис. 14.9, б), выберите масштабы Mi = 2 А/см; Mи = 40 В/см (рекомендуется строить график на отдельном листе миллиметровой бумаги).
Цепи переменного тока
Рис. 14.9. для задания 14.3

Используя векторные диаграммы, найдите фазовые углы между током и э.м.с. E1 и Е2: φ1 = -90°, φ2 = 0.
Вместимость приемников:
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Источники энергии:
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока
Баланс полномочий:
Цепи переменного тока
1280 = 192 + 576 + 512 = 1280;
Цепи переменного тока
— 960 = — 640— 960 + 384 + 256 = — 960.
Емкостные реактивные мощности Q, Q и Q1E и отрицательны, так как углы между определяющими их векторами напряжения и тока отрицательны.
Для определения напряжений U8.5 и U6.1мы строим векторы между соответствующими точками топографической диаграммы. Вектор направлен к точке, которая стоит первой в обозначении напряжения. Например, вектор U8.5 направлена в точку 8 из точки 5. Измерение векторов U8.5 и U6.1 дает:
Цепи переменного токаЦепи переменного тока
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока

Параллельное соединение индуктора и конденсатора

Чтобы рассмотреть параллельное соединение индуктора и конденсатора, представим их в виде схемы с активной и реактивной проводимостью (рис. 14.11, а).

Цепи переменного тока
Рис. 14.11: Эквивалентные диаграммы индуктора и конденсатора в параллельном соединении

В схеме рис. 14.11, б те же катушки и конденсатор представлены активным и реактивным сопротивлениями. Первая схема имеет небольшое преимущество в том, что все элементы подключены параллельно, в то время как во второй схеме они смешаны.

Учитывая параметры катушки G1, ВL и конденсатор G2, Вси напряжение Цепи переменного токаОпределите токи в цепи и ее мощность.

Векторная диаграмма цепи. Общая проводимость цепи

Согласно первому закону Кирхгофа, мгновенное значение общего тока равно сумме мгновенных токов отдельных ветвей:
Цепи переменного тока
Учитывая фазовое рассогласование активного и реактивного токов, мы находим величину суммарного тока путем сложения векторов:
Цепи переменного тока

Чтобы построить векторную диаграмму, находим:

Цепи переменного тока
В зависимости от соотношения реактивных проводимостей ветвей с индуктивностью и емкостью можно выделить три случая.

Цепи переменного тока

Рисунок 14.12: Векторные диаграммы:
Цепи переменного тока

1. Цепи переменного токаДля этого случая векторная диаграмма показана на рисунке 14.12, а. На диаграмму нанесены треугольники тока для индуктора и конденсатора, а также векторы тока I1 и я2 в этих элементах:
Цепи переменного тока
Векторная сумма токов Цепи переменного токадает полный ток в цепи. При этом вектор I является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого являются компонентами вектора тока вдоль двух взаимно перпендикулярных осей:
Цепи переменного тока– активный компонент;

Цепи переменного тока– реактивный компонент.

Векторы активных составляющих тока направлены в одну сторону, поэтому их числовые значения суммируются. Векторы составляющих реактивного тока направлены перпендикулярно вектору напряжения в противоположные стороны, поэтому им присваиваются разные знаки: индуктивные токи считаются положительными, а емкостные – отрицательными. Если все элементы цепи имеют одинаковое напряжение Цепи переменного токаОбщий ток сдвинут по фазе относительно общего напряжения на угол φ. Из треугольника токов следует, что
Цепи переменного тока
или
Цепи переменного тока
где Цепи переменного токаи Цепи переменного тока– это суммарные активная и пассивная проводимости цепи; Цепи переменного тока– общая проводимость контура.
Эти три проводимости могут быть представлены графически сторонами правильного треугольника проводимостей, который получается известным способом из треугольника токов.

Общая проводимость цепи Y – это коэффициент пропорциональности между действующими значениями общего тока и напряжения в цепи:
Цепи переменного тока
Из треугольников токов и проводимости определяются значения:
Цепи переменного тока
Фазовый угол между напряжением и общим током в цепи положительный (φ > 0) (фазовые углы рассчитываются по вектору тока).

2. Цепи переменного токаВекторная диаграмма показана на рисунке 14.12, б. Из Цепи переменного токанапряжение заторможено относительно полного тока на угол φ 0, то Q > 0; при φ

При копировании любых материалов с сайта evkova.org активная ссылка на www.evkova.org обязательна.

Сайт создан командой педагогов на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи.

Сайт написан, поддерживается и управляется командой учителей

Whatsapp и логотип Whatsapp являются торговыми марками WhatsApp LLC.

Данный веб-сайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой в понимании статьи 437 Гражданского кодекса Российской Федерации. Анна Евкова не предоставляет никаких услуг.

Читайте далее:
Сохранить статью?